НА ГЛАВНУЮ

«ПЕПЕЛАЦЫ» ЛЕТЯТ НА ЛУНУ

Глава 3

«Лохотрон»  

Состав ракеты Сатурн-V
(первая) ступень S-1C	(вторая) ступень S-II	(третья) ступень S-IVB

В следственных делах есть классическая фраза: в показаниях «подследственного» наметились противоречия, поэтому назначаем очную ставку. Далее мы сделаем виртуальную очную ставку между двумя хорошо описанными, а потому хорошо документированными событиями – запуск корабля Аполлон–12 на Луну и вывод на орбиту ИСЗ космической станции «Скайлеб».  

Для понимания всего дальнейшего, нам понадобится следующий математический аппарат.

Во-первых, формула Циолковского:

ΔV=I_уд×Ln(Z);

где V – характеристическая скорость, I – удельный импульс двигателя, Z – отношение масс вначале и в конце работы двигателя.

Во вторых, согласно методу характеристических скоростей для определения конечной скорости активного участка выведения существует следующее уравнение:

V_к=∑(V_xi) –V_потерь+V_земля=∑(I_i*Ln(Z_i)) –V_потерь+V_земля;

Смысл этого равенства звучит так: конечная скорость Vк активного участка полета ракеты равна сумме характеристических скоростей всех ступеней минус константа (суммарный интеграл потерь скорости) + прибавка за счет вращения Земли. Интеграл потерь скорости на всем отрезке от 0 до Т есть некое конкретное число, грубо говоря, постоянное для данного типа ракеты.

Этот вывод мы можем получить следующим образом. Для скоростной системы координат запишем дифференциальное уравнение -

m(dV/dt)=P*cosα – mg*sinβ – X

dV=[(P/m)*cosα – g*sinβ – X/m]dt

здесь

Р – тяга ЖРД

Х – сопротивление воздуха

α – угол между вектором тяги Р и вектором скорости V

β – угол вектора скорости к местному горизонту

расход топлива dm/dt = –L  (масса убывает)

кроме того, P(h)=Pп – p(h)Sa = Pп (1- ph*γ) - высотная зависимость тяги от давления воздуха на данной высоте.

здесь ph=p(h)/po  и  γ= (Pп – Po) /Po

тогда

dV=( Pп/m – (Pп/m)*(1– cosα) – ph*γ*cosα * Pп/m – g* sinβ – X/m)dt

Начальные условия задачи V=0; H=0; m=M1

Конечные условия V=Vк; H=Hк; m=M2

Интегрируем по частям (вводя замену dt = – dm/L):

∫ (Pп /m)dt = – ∫ (Pп /mL)dm = (Pп /L)*Ln(M₁/M₂)= U*Ln(z) = V_хар

это идеальная (характеристическая) скорость ракеты; U= Pп/L – удельный импульс в пустоте

z – отношение масс в начале и конце работы ЖРД

Суммарный интеграл потерь включает в себя четыре члена:

∫ (Pп/m)(1- cosα)dt = Vхар*(1- cosα )сред            потери на управление

∫ (ph*γ*cosα * Pп/m)dt = Vхар* (ph*γ)сред             потери на «высотность» ЖРД

∫ (g*sinβ)dt = T*(g*sinβ)сред                                          потери гравитационные, здесь Т – время полета

∫ (X/m)dt                                                              потери на сопротивление воздуха.

ИТОГО

Vк=Vхар – Vупр – Vду – Vграв – Vаэро

Данный вывод мы получили для случая одноступенчатой ракеты. 

Он легко обобщается на многоступенчатую ракету следующим образом:

Vк=∑Vхар – ∑Vупр – ∑Vду  – ∑Vграв – ∑Vаэро 

Vк'= Vк + Vземля   конечная скорость с учетом вращения Земли.

Ну а теперь сам запуск АПОЛЛОН–12.

Я сейчас в руках держу документ. Здесь написано: «весовая сводка Сатурн–5 Аполлон–12 (в кг)». Источник информации (1) файл в каталоге 4-12. Здесь описана вся короткая жизнь изделия Сатурн–5 с момента команды «зажигания» а ж до отделения корабля от носителя. В конце написана магическая фраза: «эти данные могут использоваться при всех анализах весов Сатурн–5». Раз написано ВСЕХ, то мы именно так и сделаем. (Данные в таблице округлены до целых кг.)

После этих операций оставшаяся масса комплекса ~136,3 тонны является искусственным спутником Земли. Это удобно тем, что нам заранее известен конечный результат: Vк ≈7790 м/с. Именно такова скорость спутника на круговой орбите высотой ~190км. Условием выведения спутника на круговую орбиту есть достижение указанной скорости на высоте 190км при нулевом угле тангажа.

Прибавку скорости из-за вращения Земли будем считать Vземл≈465*cos(φ)*sin(A) где А-азимут пуска и φ - широта старта (465м/с - линейная скорость точки на экваторе), то тогда при типичных значениях А=72º и φ=28,3º имеем Vземл≈390м/с. 

Итак, будем считать (грубо) прибавку за счет вращения Земли 390 м/с. Отсюда можем прикинуть величину действительных потерь скорости Х на участке выведения ИСЗ: 3753+4668+823-Х+390=7790м/с. Тогда Х=1844м/с. Обобщая разброс параметров, можно показать, что для ракеты Сатурн-5 допустимо принять стандарт потерь первой фазы полета Х≈1850±50м/сек

Масса объекта перед вторым включением третей ступени = 134,9 тонн. Эта масса стала меньше на примерно ~1,2т главным образом за счет утечки водорода через дренаж; остаток топлива по факту = 71,9 тонн, тогда Z4 =134,9/(134,9-71,9)≈2,141; теоретический размер импульса Vx≈3218м/с при I =4227м/с. Как видим, ракета Сатурн-5 располагает запасом полной характеристической скорости Vx≈12460м/с.

Согласно данных НАСА, все отправляющиеся к Луне корабли имели скорость в конце орбитального разгонного импульса ~10840м/сек. Это значит, что полные совокупные потери, с учетом потерь на второй импульс с промежуточной орбиты ожидания, составляют Хп≈2000±50м/сек. Из них ~1850м/с мы потеряли на вывод на промежуточную орбиту ИСЗ. Так что потери второй фазы полета ~150м/с. 

Итоговая масса полезной нагрузки 46,6 тонн, включая переходник=1,17т.; масса вместе с последней ступенью равна ~63,0 тонн. Масса последней ступени, включая недобор топлива 16,4т; чистая масса корабля Аполлон ~44,5т.  Именно такой груз далее следует по высокоэллиптической орбите к Луне.

Ура, товарищи! Тем, кто уже уснул – очнитесь. Выше был приведен полный расклад, и все цифры, как говорится, сошлись до копейки. Короче мы героически отправили к Луне потребные 44,5 тонн по нашей методике. Это и есть тот самый эталонный расчет эталонного носителя вместе с эталонным кораблем, который к месту и не к месту с искажениями и интерпретациями  гуляет по разным источникам.

(продолжение третьей части)

ОБСУДИТЬ НА ФОРУМЕ