НА ГЛАВНУЮ

СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ

Как "Аполлоны" спускались в атмосфере

Для того, чтобы лететь к Луне космонавтам, вообще затевать пилотируемые полеты со скоростями порядка второй космической ~11км/с и выше, нужна одна малость. Сущая безделица: возможность вернуться на Землю. И желательно живыми.

Все дело в том, что при спусках даже с первой космической скоростью ~7,8км/с и даже при минимальных углах входа, спуск симметричной неориентируемой капсулы сопровождается перегрузками до 9g. И хотя они не являются смертельными, тем не менее опасны для здоровья космонавтов, и по возможности желательно их избегать.

Когда ставилась задача расчета спуска в атмосферу со второй космической скоростью, то выяснилось, что даже в случае попадания в очень узкий коридор шириной в 1° то и в таком случае перегрузки будут выше 10g - на практике они достигнут значений порядка 15g ÷ 20g. 

Поэтому ученые умы придумали ход - спускаться не в одно "касание", а в два. При первом погружении капсула теряет скорость до величины порядка первой космической, а при втором погружении происходит штатный спуск как при возвращении с орбиты спутника Земли. Как говорят математики - свели задачу к предыдущей. Наглядно это показано на рис.1 

Не надо думать, что такая идея была достоянием только советских ученых. В документах НАСА имеется четкое указание, что в начале 60-х годов они прорабатывали точно такую же схему приземления спускаемого аппарата. (рис.2)

Рис.2 Двойное погружение и прыжок в документах НАСА.

Тем более странно и нелепо в последствие оказалось, что в отличие от двухнырковой схемы спуска советских "Зондов", американские "Аполлоны" после возвращения с Луны садились "тупо" - "в лоб" одним нырком и достаточно коротким участком приземления (~2250км) между точкой входа и точкой приводнения. Напомню, что отличительной особенностью двухнырковой схемы является очень большой "тормозной" путь - порядка ~8000...10000км. 

При чем что особо интересно - корабль А-7 при возвращении с орбиты ИСЗ имел длину тормозного участка порядка ~3000км. То бишь больше, чем у всех Аполлонов, кроме А-9. Но и тот дальше орбиты ИСЗ не летал. 

Теперь давайте попробуем вооружится двумя программами расчета спуска капсулы на Землю, и численно посчитать "эволюцию" спускаемого аппарата в плотных слоях атмосферы. Первая программа и модель принадлежит автору статьи, вторая (для сравнения и оценки) - взята здесь ReentryModel.zip

Описание модели автора

Модель атмосферы была взята согласно справочного издания Министерства обороны СССР. 

Модель для численного счета описывается следующим образом (управление по дальности и боковому маневру реализовано через управление по каналу крена капсулы): 

ρ= ρ(h) – плотность воздуха; S – рабочая поверхность капсулы; μ – гравитационный параметр Земли; 

C_x C_у – аэродинамические коэффициенты осевой и нормальной силы; 

Силы, записанные в соответствующем виде для скоростной системы координат:

Q=C_x*S*ρ(h)*v²/2m – осевая сила сопротивления, приведенная на массу капсулы; 

N=C_y*S*ρ(h)*v²/2m – нормальная (подъемная) сила, приведенная на массу капсулы;

P_у=N*cos(γ) – результирующая нормальная сила с учетом параметра управления по крену cos(γ)

Связь для субъективно ощущаемой перегрузкой такова: n=(Q + P_y + P_z)/m  – векторное равенство; при этом необходимо учесть, что боковая проекция нормальной силы P_z=N*sin(γ) хотя и не участвует в уравнениях движения в плоской модели (Х,У) но важна для целей определения максимальной перегрузки. 

Перегрузка в единицах [м/с²] |a'|=|n|; или в относительных единицах n=|a'|/g0; при этом ускорение ц.м. капсулы в координатах ХУ равно: 

a=(Q + P_y + W)/m; где сила тяжести W=mg; 

Для прямоугольной системы координат Х,У (начало СК связано с центром Земли, ось У проведена через точку входа в атмосферу, ось Х перпендикулярна У и лежит в плоскости спуска капсулы) проекции на оси Х,У (здесь мы для простоты опускаем боковую проекцию Z и ведем расчет только в плоскости Х,У):

x″ = –Q*(v_x/v) –P_у*(v_y/v) –(μ/r²)*x/r

y″ = –Q*(v_y/v) +P_у*(v_x/v) –(μ/r²)*y/r

При этом учитываем следующую связь переменных:

x′ = v_x

y′ = v_y

v² = v_x² + v_y²

r² = x² + y²

H = r – r₀

начальные условия: m/S = 465кг/м²; C_x =0,85; C_у /C_х=0,34; tg(α) = v_y /v_x  –начальный угол; v = v₀; H = H₀; 

управление (исходя из заданной дальности L) реализуется изменением угла крена - путем уменьшения Су'=Су*cos(γ) 

(дальность 2250км достигнута при К'=Су'/Сх=0,136).

При численном решении системы уравнений использовался метод Адамса четвертого порядка вида:

J_y =(55y'_i – 59y'_i-1 + 37y'_i-2 – 9y'_i-3)/24    

y_i+1 = y_i + J_y*Δt  

Шаг счета h=0,1сек. Погрешность решения, найденного многошаговым методом, оценивается как |y_i - y_i* | < O(h⁴)

ВТОРАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА

Особенности программной реализации второй модели автору не известны. Однако анализируя данные, автору удалось установить, что на диаграмме "асс" эта программа показывает непосредственно перегрузку, а не скажем общее ускорение капсулы.

Работа с программой начинается с введения исходных данных. Все данные автор ввел аналогично собственной программе, за исключением параметра управления К. Вместо К=0,136 пришлось взять К=0,152 для достижения нужной дальности ~2250км. Данные вносятся в формочку в таком виде:

После внесения данных рядом с таблицей программа рисует диаграммы траектории, ускорения и скорости капсулы в каждой точке полета, а также текстовый транскрипт эволюции полета.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА

Если принять угол входа в районе -6,5° то максимальные перегрузки при управляемом спуске достигнут ~9g, баллистический спуск ~16g (примерно под таким углом входил Зонд-5, так что данные численного расчета совпадают с данными конкретного полета). Для крайних случаев с максимальным углом входа  -7,08° (Аполлон-4) перегрузки составят ~12g при управляемом спуске, и ~22g на баллистике. 

Так как у читателей возникали вопросы, я решил проиллюстрировать вышесказанное графическими построениями численных расчетов при разных параметрах. Красным цветом показана траектория полета, синим - значение текущей перегрузки в [м/с²]

Численное моделирование на компьютере показывает, что при входе в секторе от -5,6° до -6,1° капсула Аполлона испытала бы максимальные перегрузки в пределах 4÷7 единиц с возможностью "прыжка" на расстояние 6000км ...9000км. А в случае срыва на баллистический спуск перегрузки не превысят 10÷11 единиц.

Вторая программа не позволяет делать расчеты траекторий спуска длиннее 7000км. Поэтому был взят расчет семитысячного прыжка.   Согласно данных текстового транскрипта, на 90-й секунде отмечено прохождение максимума перегрузки а=57,5м/с² или ~5,8g при скорости 9,7км/с на высоте 59,7км.      Для сравнения: в авторской программе максимум достигался на 100-й секунде при скорости 9,7км/с на высоте ~55,8км. Значение перегрузки а=~47,6м/с² или ~4,9g Имеется также второй максимум а=48,3м/с² или ~4,9g на 1150-й секунде перед самой посадкой на высоте 43,2км и скорости 4,3км/с.

Краткое резюме по итогам расчетов. 

При стандартных углах входа в атмосферу все спускаемые аппараты кораблей "Аполлон" испытывали перегрузки от 9g (нижняя оценка) до 10g (верхняя оценка) при стандартной дальности около ~2250км.

Если бы НАСА следовало рекомендациям по двухнырковым схемам спуска, и спускаемый аппарат попадал в вышеуказанный коридор входа, то при дальности приземления 7000...9000км реализуются перегрузки от 5g (нижняя оценка) до 6g (верхняя оценка). Это полностью подтверждается успешным спуском капсул "Зонд-6" и "Зонд-7" по вышеописанной траектории.

P.S.

Есть один нюанс, на который бы хотелось обратить внимание. Дело в том, что крутизна траектории определяется не самим углом, а комбинацией угол входа - высота счисления угла. Из-за того, что Земля круглая, один и тот же угол входа на разных высотах отвечает разным траекториям. 

Скажем, при входе с углом -6,5° на высоте отсчета 120км (или 400.000 футов), траектория пересекает высоту ~90км (или 300.000 футов) уже под углом -5,3°. Таким образом -6,1°/120км и -5,3°/91км это одно и тоже.

А вопрос в том, что изначально американцы отсчитывали свои высоты "входа в атмосферу" от 300тыс.фут или ~90км (рис.2). А уж потом в отчетности по Аполлону резко перешли на отсчет от отметки 400тыс.фут или ~120км. Так вот: они могли пойти на это, дабы траектория спуска не выглядела столь "крутой". 

Более того, сама постановка вопроса про "вход" в атмосферу на высоте 120км просто бессмысленна, ибо акселерометры капсулы Аполлона регистрируют наличие торможения в воздухе при ускорениях не менее 0.05g, что имеет место на высоте ~89...90км.

Я решил произвести расчет спуска на стандартную дальность при условии, что угол отсчитывается от высоты 90км. И вот что получилось (не правда ли - точная копия рис.2):

Не сложно заметить, что подтасовка контрольных высот отсчета углов входа в атмосферу вполне могла быть на руку НАСА, ибо 13,5g это уже очень и очень, как говорил Свирид Петрович Голохвастов...

Аркадий Велюров

НА ГЛАВНУЮ